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复分析可去奇点问题

作者 zrh6
来源: 小木虫 450 9 举报帖子
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如图所示,十三题,谢谢

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  • 精华评论
  • alober

    下面做了一些假设,假设A是正的,epsilon是给定的数。令$[latex]g(z) = (z-z_0)f(z)$[/latex],其中$[latex]z \in D := \{z: 0 < |z-z_0| < r\}$[/latex],于是$[latex]|g(z)| \le A|z-z_0|^{\epsilon}$[/latex],于是$[latex]g(z)$[/latex]在$[latex]z_0$[/latex]的去心邻域上有界,设界是M。显然$[latex]g(z)$[/latex]如果有奇点就是$[latex]z_0$[/latex],只要证明$[latex]z_0$[/latex]也是$[latex]g(z)$[/latex]的可去奇点。

    $[latex]g(z)$[/latex]负幂部分是$[latex]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$[/latex],其中$[latex]c_{-n} = \frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{1-n}}d\zeta$[/latex],圆周 C 含于 D 内包含点 z_0 且半径 rho 能充分小,于是$[latex]|c_{-n}| = \frac{1}{2\pi}|\int_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{1-n}}d\zeta| \le \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{M}{\rho^{1-n}} \cdot 2\pi\rho = M\rho^n \to 0$[/latex],于是负幂部分是0从而是可去奇点,

  • alober

    引用回帖:
    4楼: Originally posted by zrh6 at 2017-06-21 21:16:05
    抱歉,你的这个评论可能是由于代码问题,显示不全
    ...

    我忘了加下面这段话了:
    (本帖中图片由codecogs生成,如果在手机上看不到,可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图,可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10        latex.codecogs.com)

    因为手机上可能看不到由 codecogs 生成的图。
    前一帖中所有$符号都是多余的,在转换中出了错误,是我自己的问题。但如果用电脑能看到图时,不影响图片的内容。
    epsilon 需要给定,只要给定就可以,不需要是具体的数,我的证明过程中需要用到 |z-z_0|^(epsilon) 是有界的。

  • zrh6

    好,非常谢谢你

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