一道高等数学考研题
设[latex]a< b[/latex],函数[latex]f(x)[/latex]在[latex][a,b][/latex]上连续,且
[latex]\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}xf(x)dx=\int_{a}^{b}x^2f(x)dx=0.[/latex]
证明:在[latex](a,b)[/latex]内至少存在三个不同的点[latex]x_1,x_2,x_3[/latex],使得[latex]f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0[/latex].
(中科院2012高等数学-甲,十一题) 返回小木虫查看更多
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反证法,不过比较啰嗦!
假设,没有零点,则与[latex]\int_a^b f(x)dx=0[/latex]矛盾,
假设只有一个零点[latex]x_1[/latex],考虑[latex]\int_a^b (x-x_1)f(x)dx=\int_a^{x_1} (x-x_1)f(x)dx+\int_{x_1}^b (x-x_1)f(x)dx [/latex]
进一步分析可知:[latex]\int_a^{x_1} (x-x_1)f(x)dx[/latex]与[latex]\int_{x_1}^b (x-x_1)f(x)dx[/latex]同号,这与[latex]\int_a^b (x-x_1)f(x)dx=0[/latex]矛盾.
不啰嗦,赞!
送花,谢谢解答
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