引用回帖:

8楼: Originally posted by 求知~笃志 at 2017-08-25 20:41:33
r| > 1时结果为2π㏑|r| 。

QQ图片20170825203931.jpg
...

这和7楼算的一样。
[latex]\int_{0}^{\pi}\ln(1-2r\cos x+r^2)dx = \int_{0}^{\pi}\ln(r^2(1-2\frac{1}{r}\cos x+(\frac{1}{r})^2))dx = \int_{0}^{\pi}\ln r^2dx+\underbrace{\int_{0}^{\pi}(1-2\frac{1}{r}\cos x+(\frac{1}{r})^2)dx}_{=0,(|\frac{1}{r}|<1)} = \pi\ln r^2 = 2\pi\ln|r|[/latex]
，

引用回帖:

7楼: Originally posted by alober at 2017-08-23 10:53:54
级数关于 x 一致收敛，保证了求和号能与积分号交换次序。如果 |r| > 1，只要在对数里除以 r^2，变成\ln r^2+\ln(1+2\frac{1}{r}\cos x+(\frac{1}{r})^2)，分别积分，后一表达式就满足$|\frac{1}{r}| < 1$，因 ...

这是微积分学教程里的结果（俄罗斯数学教程里的）。

引用回帖:

9楼: Originally posted by alober at 2017-08-25 20:48:16
这和7楼算的一样。
\int_{0}^{\pi}\ln(1-2r\cos x+r^2)dx = \int_{0}^{\pi}\ln(r^2(1-2\frac{1}{r}\cos x+(\frac{1}{r})^2))dx = \int_{0}^{\pi}\ln r^2dx+\underbrace{\int_{0}^{\pi}(1-2\frac{1}{r}\cos x+(\fr ...

好的。