引用回帖:

9楼: Originally posted by zrh6 at 2017-06-22 15:42:15
再辛苦您一下，帮我看看这两道题
第一题当ξ取自实数的时候会做，取自复数的时候呢？
第二题感觉和答案算的不一样?

...

[latex]f(x) = e^{-\alpha x^2}, \alpha = \pi,\omega = 2\pi\xi \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\pi x^2}e^{2\pi ix\xi}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{i\omega x}dx = \mathcal{F}[f(x)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega^2}{4\alpha}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\pi\xi^2}[/latex]

[latex]\xi \le 0, \alpha = -2\pi\xi \ge 0, I(\alpha) = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i\alpha x}}{(1+x^2)^2}dx = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(\alpha x)}{(1+x^2)^2}dx \Rightarrow \mathcal{L}[I(\alpha)] = 2\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(\alpha x)}{(1+x^2)^2}e^{-s\alpha}dxd\alpha = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\int_{0}^{+\infty}\cos(\alpha x)e^{-s\alpha}d\alpha = 2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^2} \cdot \frac{s}{s^2+x^2}dx = 2(\frac{s}{s^2-1}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^2}-\frac{s}{(s^2-1)^2}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}+\frac{s}{(s^2-1)^2}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+s^2}) = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{s+2}{(s+1)^2} \Rightarrow I(\alpha) = \frac{\pi}{2}\mathcal{L}^{-1}[\frac{s+2}{(s+1)^2}] = \frac{\pi}{2} \cdot (\alpha+1)e^{-\alpha}[/latex]

（本帖中图片由codecogs生成，如果在手机上看不到，可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图，可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10        latex.codecogs.com）
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